布洛赫波_大国百科_综合

布洛赫定理的证明

给出平移算符，并定义其作用为对任意函数有：

{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}f({\boldsymbol {r}})=f({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})

其中是布拉维格子的任意矢量。

由于晶格周期势的周期性，不难得到晶格哈密顿量具有平移对称性：

{\hat {H}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}})

所以有：

{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}{\hat {H}}\psi ({\boldsymbol {r}})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {H}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})

即此时哈密顿量算符与平移算符是对易的，从而它们具有共同的本征函数，因此可讨论的本征函数来代替对本征函数的讨论。

设为这两个算符的共同本征函数，是对应本征值，那么有：

{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})

波函数的归一化条件：

\int |\psi ({\boldsymbol {r}})|^{2}{\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int |\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})|^{2}{\text{d}}{\boldsymbol {r}}=1

要求，即本征值的形式应为：

\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}}

除此之外，平移算符还要满足，即平移算符本征值要满足关系：

\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{m}}\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}

将之前推导得到的带入上式中，有：

\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{m}}=\beta _{{\boldsymbol {R}}_{n}}+\beta _{{\boldsymbol {R}}_{m}}

由此可知，与必须成正比关系，所以可设，从而：

\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}

因此证明了对任意的布拉维格矢其本征波函数有如下关系：

\psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{n})={\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=\lambda _{{\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}\psi ({\boldsymbol {r}})

此即布洛赫定理。

参见

布洛赫波